ลองใช้ประโยชน์จากแคลคูลัสให้ดูหน่อย

A A
May 3, 2023
May 3, 2023
A A

ลองใช้ประโยชน์จากแคลคูลัสให้ดูหน่อย

 

เมื่อพูดถึงวิทยาศาสตร์เรายังพอนึกออกว่า มันสามารถใช้อธิบายฝนตกฟ้าร้องได้ เมื่อเราพูดวิชาการงานอาชีพ เราก็จะรู้ว่าซ่อมแซมเสื้อผ้าที่ขาดอย่างไร ส่วนภาษาอังกฤษยิ่งสำคัญมาก เพราะการเรียนรู้ภาษาช่วยให้เราสื่อสารกับชาวต่างชาติได้อย่างเข้าใจ

แล้วแขนงอื่นล่ะ
ตรรกศาสตร์ ตรีโกณมิติ ฟังก์ชัน เรียนไปทำไม ? ยากก็ยาก ไหนจะ “แคลคูลัส” อีก

 

ถ้ายังคิดไม่ออก เรามาลองใช้ประโยชน์จากแคลคูลัสไปพร้อมกัน

 

คนต้นเรื่องของคณิตศาสตร์แขนงนี้ก็ไม่ใช่ใครอื่นใด “ท่านเซอร์ไอแซค นิวตัน” นักคณิตศาสตร์ผู้โด่งดังจากการใช้แอปเปิลพิสูจน์ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงโลกนั่นแหละ

ต้องอธิบายก่อนว่าแนวคิดพื้นฐานการคำนวณนี้ตั้งอยู่บนหลักการของคำว่า “ทุกสิ่งล้วนเปลี่ยนแปลง” เป็นหลักการที่ใช้อธิบายระบบที่เป็นพลวัต เช่น การเปลี่ยนขนาด การเปลี่ยนแปลงความเร็ว การแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา การหมุนของโลก แม้แต่การการแพร่กระจายของโลกระบาด ซึ่งหลัก ๆ แล้วแคลคูลัสฉบับนิวตันที่เราเรียนกันในปัจจุบันนี้จะพูดถึงการเปลี่ยนแปลงพื้นที่ คำนวณปริมาณของสิ่งต่าง ๆ แม้แต่ชิ้นส่วนที่มีขนาดเล็กมากจนมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ แคลคูลัสก็สามารถคำนวณได้
.
ลองนึกภาพการซอยมันฝรั่งออกเป็นแท่งเฟรนซ์ฟรายส์เล็ก ๆ แล้วหาพื้นที่สี่เหลี่ยมทุกแท่งด้วยสูตรกว้างคูณยาวแล้วเอามาบวกกัน ก็จะได้ค่าประมาณของพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ยิ่งซอยเล็ก ค่าพื้นที่ที่ได้ยิ่งมีความใกล้เคียงแม่นยำ เพราะฉะนั้น ถ้าเราอยากได้ค่าพื้นที่จริง ๆ เฟรนซ์ฟรายส์ที่เราซอยคงต้องบางมาก ๆ บางยิ่งกว่ากระดาษ A4 หรือแทบมีความหนาเกือบเป็นศูนย์มาก ๆ ซึ่งทางทางคณิตศาสตร์จะเรียกว่า “ลิมิต (Limit)” นี่แหละครับเรื่องคร่าว ๆ ของแคลคูลัส

 

แคลคูลัสคิดอย่างไร ? มาทบทวนกันก่อน

 

สมมติว่าวันหนึ่งเราได้รับมรดกจากญาติผู้ใหญ่เป็นที่ดินจำนวน 1 แปลง โดยมีเงื่อนไขว่าปริมาณพื้นที่ของที่ดินที่เราจะได้รับไป จะเป็นสี่เหลี่ยมแบบไหน และมีขนาดเท่าไหร่ก็ได้ แต่ต้องนำเชือกที่มีความยาวทั้งหมด 800 เมตรมาทาบวัดไป ยกเว้นด้านที่อยู่ติดกันกับแม่น้ำ
ซึ่งแน่นอนว่าเราย่อมต้องการได้ขนาดพื้นที่ดินให้มากที่สุด ซึ่งสถานการณ์นี้ แคลคูลัสคือตัวช่วยที่ดีที่สุดในการหาขนาดของที่ดินที่มากที่สุดภายใต้เงื่อนไขของญาติ
จากเงื่อนไขข้างต้นทำให้เรารู้ว่า ด้านทั้งหมดที่สามารถทำการทาบเชือกได้จะมีทั้งสิ้น 3 ด้าน ด้วยกัน นั่นก็คือ ระยะที่ตั้งฉากกับแม่น้ำจำนวน 2 ด้าน ซึ่งเราจะให้เท่ากับระยะ X และ ระยะที่ขนานกับแม่น้ำจำนวน 1 ด้าน ซึ่งเราก็จะให้เป็นระยะความยาวทั้งหมดของเชือก ลบ ด้วยระยะ 2X หรือ เขียนได้เท่ากับ 800-2X นะครับ
ดังนั้นเราจะสามารถหาพื้นที่ของที่ดินออกมาได้เท่ากับ
A(X) = (X)(800 – 2X) = 800X – 2X^(2)
จะเห็นได้ว่าสมการในการหาพื้นที่แปลงนี้จะอยู่ในรูปที่ขึ้นกับฟังก์ชันของ X โดยหากเราต้องการหาค่าสูงสุดของค่า ๆ นี้ เราเพียงแค่ทำการ DIFFERENTIATE สมการนี้โดยให้ผลของสมการนี้มีค่าเท่ากับ ศูนย์ เพราะจากหลักการตามทฤษฎีของแคลคูลัสนั้นสอนให้เราทราบว่าการ DIFFERENTIATE ก็คือ การหาค่าความชัน (SLOPE) ของสมการ ซึ่งที่ตำแหน่งยอดสุด หรือ ตำแหน่งที่มีค่าสูงที่สุด ค่าของความชันนั้นจะมีค่าเท่ากับ ศูนย์ นั่นเองนะครับ ดังนั้นจะสามารถเขียนได้ว่า
dA(X)/dX = d[800X – 2X^(2)]/dX = 0
800 – 4X = 0
4X = 800
X = 200 M
ดังนั้นขนาดของพื้นที่สูงสุดที่เราจะได้โดยการวัดตามเงื่อนไขข้างต้นจึงมีค่าเท่ากับ
A (MAX.) = 800(200) – 2(200)^(2)
A (MAX.) = 80000 SQ.M
หรือ หากเอาเป็น หน่วย ที่พวกเราคุ้นเคยกันดีก็จะมีค่าเท่ากับ
A (MAX.) = 80000/1600
A (MAX.) = 50 ไร่
ซึ่งหากว่าไม่มีวิชาแคลคูลัสเราคำนวณได้ไหม คำตอบก็คือ ได้ แต่อาจที่จะต้องใช้วิธีการลองผิดลองถูก (TRIAL & ERROR) หลายครั้งมาก ๆ กว่าที่จะได้คำตอบเหมือนที่เราคำนวณด้วยแคลคูลัส

สำหรับคนที่อาศัยอยู่ตัวคนเดียว อาหารการกินคงไม่คิดอะไรมากเวลาจะซื้อเนื้อ ซื้อผัก เว้นเสียแต่เราจะอยากคำนวณปริมาตรน่องไก่ด้วยการหาปฏิยานุพันธ์ (Integration) เพื่อนำไปวิเคราะห์หาการปรุงรสและใช้ความร้อนที่เหมาะสม หรือใช้อนุพันธ์ (Derivative) เข้ามาช่วยพิจารณาส่วนโค้งส่วนเว้าของหัวไชเท้าที่จะเอาไปต้มจืดว่าสวยงามน่ากินหรือไม่ ถามว่ามันจำเป็นไหม ? มันก็จำเป็นแหละ ถ้าเราอยากอวดภาพมื้ออาหารสวย ๆ บน Social Media หรือมีเป้าหมายจะลงแข่ง Masterchef Thailand
ส่วนคนที่ออกมาจ่ายตลาดเพื่อทำอาหารให้กลุ่มคนจำนวนมาก อย่างครอบครัวขนาดใหญ่ โรงอาหาร ร้านอาหาร ต้องวางแผนการซื้อวัตถุดิบอย่างรอบคอบหน่ะสิ ฉะนั้นการหาค่าเหมาะที่สุด (Optimization) จึงเข้ามามีบทบาท ทำให้เราสามารถหาค่าสูงสุด หรือต่ำสุดของสิ่งที่เราต้องการภายใต้ข้อจำกัดต่าง ๆ เช่น ถ้าเราอยากจ่ายเงินน้อย ๆ แต่ได้วัตถุดิบที่มีสารอาหารครบถ้วนความอร่อยเยอะ ๆ ควรซื้ออะไรปริมาณเท่าใดบ้าง ซึ่งการศึกษาเรื่องการหาค่าเหมาะที่สุดก็ต้องมีแคลคูลัสเป็นพื้นฐานเช่นกัน

แล้วถ้ามองในมุมพ่อค้าแม่ค้าล่ะ
การเปิดแผงขายของมันไม่ได้จบแค่หาของเพื่อขายให้เกลี้ยงแผงเท่านั้น แต่ต้องวางแผนว่าจะสั่งของเข้ามาเท่าใด จึงจะมีพอขาย ไม่เหลือทิ้ง ควรตั้งราคาเท่าไรคนถึงจะซื้อเยอะ และคนขายได้กำไรเพียงพอกับความต้องการ ถ้าผิดคำนวณผิดแผนบ่อย ๆ ก็อาจจะเจ๊งเอาง่าย ๆ โดยการวางแผนนั้นมักจะพึ่งพาศาสตร์ของการหาค่าเหมาะที่สุดในการสร้างผลกำไรสูงสุด และใช้การวิเคราะห์หน่วยสุดท้าย (Marginal Analysis) ที่ต้องใช้อนุพันธ์เข้ามาช่วยทำนายแนวโน้มของรายรับรายจ่ายจากข้อมูลการซื้อขายในอดีต ซึ่งสองหัวข้อนี้มักจะอยู่ในวิชาแคลคูลัสที่ออกแบบให้ผู้เรียนสายเศรษฐศาสตร์ พาณิชยศาสตร์

การขายของในตลาดส่วนใหญ่คนค้าขายมักจะมีที่ขายประจำของตัวเอง อาจจะเป็นโต๊ะ แผงลอย รถเข็น แคลคูลัสในเรื่องนี้จะทำงานร่วมกับ STEM ในแง่ของการออกแบบสร้างสรรค์ ทั้งในสายงานวิศวกรรม และสถาปัตยกรรม แคลคูลัสช่วยในการตัดสินใจว่าชิ้นส่วนต่าง ๆ ที่นำมาประกอบเป็นแผงขายของควรมีขนาดเท่าใด วางตัวในทิศทางไหน จึงจะให้ความมั่นคงแข็งแรงสูงสุด ผ่านการคำนวณทางฟิสิกส์ และการหาค่าเหมาะที่สุด ถ้าหลังคารถเข็นมีรูปร่างโค้งเว้านำสมัย ไม่ได้เป็นแผ่นสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมที่เราใช้ความรู้สมัยประถมหาพื้นที่ได้ง่าย ๆ เราก็สามารถใช้การหาปฏิยานุพันธ์มาประมาณค่าพื้นที่ผิวหลังคาที่ต้องทาสีได้ เพื่อจะวางแผนให้ถูกว่าควรซื้อสีมาเท่าไร ซึ่งเรื่องนี้ยังไม่นับพ่อค้าแม่ค้าสายเกษตรกรรม ทำผลิตผลเอง ที่อาจจะทิ้งแคลคูลัสลงถังหมักปุ๋ยไปแล้ว เพราะการพัฒนาคุณภาพ ตรวจสอบความปลอดภัยต่อผู้บริโภคของผลผลิตทางการเกษตรเหล่านี้ก็สำคัญไม่แพ้กัน แคลคูลัสเข้าไปสอดแทรกอยู่ในการกระบวนการคำนวณหลาย ๆ ด้าน ทั้งการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงความเข้มข้น และการแพร่ของสารเคมีต่าง ๆ ไม่ว่าจะเป็นปุ๋ย ยาฆ่าแมลง ยาปฏิชีวนะสำหรับสัตว์ แคลคูลัสช่วยให้รู้ว่าเราควรจะให้สารเคมีช่วงไหนถึงจะได้ประโยชน์สูงสุด และไม่เหลือสารตกค้างเมื่อนำออกขาย การวิเคราะห์การเจริญเติบโตของพืชและสัตว์ที่เพาะเลี้ยง รวมถึงการทำนายสภาพดินฟ้าอากาศ จะช่วยให้เราวางแผนการเพาะปลูกเก็บเกี่ยวได้อย่างเหมาะสม

 

 

calculus

 

 

เราได้อะไรจากลองใช้ประโยชน์จากแคลคูลัสในชีวิตประจำวันกันบ้าง

 

แน่นอนว่าเราจะคิดคำนวณเก่งขึ้นเมื่อเราได้ใช้มันบ่อย ๆ ฝึกความคิดอย่างเป็นระบบ เปลี่ยนเราให้กลายเป็นหนูน้อยช่างสงสัย คิดไตร่ตรองมากขึ้น รู้จักการสังเกต ตั้งคำถาม และวิเคราะห์ มีวิจารณญานในการตัดสินเรื่องรอบตัวด้วยหลักฐานข้อเท็จจริงมากกว่าความคิดเห็นส่วนตัว ซึ่งเราเรียกทักษะที่เราได้จากเรื่องนี้ว่า Critical Thinking หรือการคิดเชิงวิพากษ์

หากมองเรื่องนี้ด้วยเลนส์เศรษฐศาสตร์แบบง่าย ๆ คือ เมื่อคนเราคิดวิเคราะห์กลั่นกรองข้อมูลได้มากขึ้น ความเสี่ยงของการโดนเอารัดเอาเปรียบในกลไกตลาดก็จะลดลงตาม เมื่อเราไม่ตกเป็นเหยื่อของตลาด เราก็จะมีโอกาสต่อยอดทรัพย์สินเพื่อสร้างผลลัพธ์อะไรใหม่ ๆ ได้ ซึ่งส่งผลอย่างมากในแง่ของการประกอบธุรกิจ กรณีตัวอย่างที่แคลคูลัสพลิกชีวิตเรื่องหนึ่งก็คือบริษัท LITIC ผู้พัฒนาระบบ OPTIMIZETION ที่เป็นทั้งนักสร้างสรรค์และนักแก้ไขในเวลาเดียวกัน นำความต้องการหรือปัญหาที่เกิดขึ้นในองค์กรมาหาค่าที่ดีที่สุดด้วยหลักแคลคูลัส เราสามารถตั้งโจทย์ สิ่งที่เราต้องการพัฒนา หรือสิ่งที่เราอยากรู้ได้ เช่น บริษัทผลิตอาหารรายใหญ่ของโลกรายหนึ่ง มีทั้งหมด 175 สินค้าจากโรงงานผลิตทั้ง 7 แห่ง มีลูกค้าทั้งรายใหญ่รายย่อยนับไม่ถ้วน โจทย์ที่บริษัทอาหารโยนให้ LITIC คือคำถามว่าหากวันใดวันหนึ่งมีโรคระบาด เกิดขึ้นในโลก เช่น ไข้หวัดนก อาหารไก่ อาจจะขายไม่ได้ในภูมิภาคนั้น และเขาจะต้องผลิตอาหารอะไรเพื่อทดแทนรายได้ของอาหารไก่ที่ขาดหายไปในช่วงนั้น หรือ ถ้าเค้าจะต้องยุบทิ้งหรือสร้างแหล่งผลิตใหม่ๆ เขาต้องทำที่ไหน และต้องใช้ต้นทุนเท่าไหร่ ซึ่งเมื่อข้อมูล Input ข้อมูลความต้องการเหล่านี้ลงเจ้า Litic Optimizetion Analytics นี้จะทำการ Clone เหตุการณ์ต่างๆ ที่เกิดขึ้นในธุรกิจเรา และใช้สมการ X,Y เพื่อหาผลลัพธ์ซึ่งตรงนี้จะใช้หลักการคิดเชิงวิพากษ์ร่วมด้วย วิเคราะห์เปรียบเทียบข้อมูลจริงตามระบบเศรษฐกิจ ตัดตัวเลือกที่ไม่จำเป็น คาดคะเนผลที่อาจจะเกิดขึ้นจากการตัดสินใจในแต่ละตัวเลือก จนประมวลผลลัพธ์สุดท้ายออกมาเป็นตัวเลือกที่ดีที่สุด

คณะวิจัยจากมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด ได้ตีพิมพ์วารสาร Academy of Economics งานวิจัยนี้ระบุไว้ว่าองค์กรที่มีการนำหลักการทางแคลคูลัสเพื่อ Optimize ระบบการวางแผนงาน สามารถทำกำไรได้มากกว่าองค์กรที่ไม่ได้ใช้ 5-6% ซึ่งในแง่การแข่งขันทางธุรกิจ ตัวเลขนี้ไม่ได้น้อยเลย
เพราะถ้าเราจะลงทุนขยายธุรกิจออกไปที่ใดที่หนึ่งนั้น ต้องใช้เงิน และความเสี่ยงสูง แต่ถ้าเราลองให้คณิตศาสตร์คาดการณ์การตัดสินใจให้เราบ้าง มันก็น่าจะง่ายขึ้นไม่น้อยเลย

มาถึงตรงนี้ คำถามที่ว่าเราเรียนคณิตศาสตร์ที่ยาก ๆ อย่างแคลคูลัสกันไปทำไม
คำตอบมันก็ขึ้นอยู่กับว่าคุณสวมหมวกอยู่ในสายอาชีพอะไร ถ้าคุณเป็นนักพัฒนาโปรแกรมคอมพิวเตอร์ นักวิจัย อาจารย์มหาวิทยาลัย หรือแม้แต่เป็นแม่บ้านธรรมดาที่อยากจ่ายค่ากับข้าวให้คุ้มค่าที่สุด ทักษะทางคณิตศาสตร์เหล่านี้มันก็อาจจะสำคัญไม่น้อย

แคลคูลัสอาจจะดูเป็นวิชาที่ยาก เวลาเรียนอาจจะง่วง ส่วนหนึ่งเพราะไม่เข้าใจที่มาที่ไปของวิชานี้ว่ามันมีประโยชน์อย่างไร ซึ่งวันนี้เราได้เห็นแล้วว่าคณิตศาสตร์เหล่านี้มันแทรกซึมอยู่รอบตัวเราอย่างแยกไม่ออก ลองนึกถึงสังคมมนุษย์ที่ไร้คณิตศาสตร์นับจำนวนไม่ได้ดูสิครับ หลากหลายอารยธรรมที่เราได้เห็นกันในวันนี้อาจไม่เกิดขึ้นเลยก็เป็นได้

อ้างอิง
http://bitly.ws/Dgix
http://bitly.ws/DgiC
http://bitly.ws/zLeX

Share

Authors

Authors

RELATED POSTS